Pengertian Matematika Menurut Pendapat Ahli dan Kurikulum

Kurikulum 2004:“Matematika merupakan suatu bahan kajian yang memiliki objek abstrak dan dibangun melalui proses penalaran deduktif, yaitu kebenaran suatu konsep diperoleh sebagai akibat logis dari kebenaran sebelumnya sudah diterima sehingga keterkaitan antara konsep dalam matematika bersifat sangat kuat dan jelas.”

Kurikulum 2006:“Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir manusia. Perkembangan pesat di bidang teknologi informasi dan komunikasi dewasa ini dilandasi oleh perkembangan matematika di bidang teori bilangan, aljabar, analisis, teori peluang, dan diskrit. Untuk mengusai dan menciptakan teknologi di masa depan diperlukan penguasaan matematika yang kuat sejak dini.”

Johnson dan Rising (1972):“Matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logik, matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas, dan akurat, representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide daripada mengenai bunyi.”

Yansen Marpaung:
“Matematika adalah ilmu yang dalam perkembangannya penggunaanya menganut metode deduksi.”

Kline (1973) :“Matematika itu bukanlah pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan mengatasi permasalahan sosial, ekonomi dan alam. Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berpikir, oleh karena itu logika adalah dasar untuk terbentuknya matematika.”

Suwarsono:
“Matematika adalah ilmu yang memiliki sifat khas yaitu; objek bersifat abstrak, menggunakan lambang-lambang yang tidak banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, dan proses berpikir yang dibatasi oleh aturan-aturan yang ketat.” 

James dan james (1976) : “Matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya dengan jumlah yang banyak yang terbagi ke dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis, dan geometri.”

Susilo:
“Matematika bukanlah bukanlah sekedar kumpulan angka, simbol, dan rumus yang tidak ada kaitannya dengan dunia nyata. Justru sebaliknya, matematika tumbuh dan berakar dari dunia nyata.”

Suherman (2003):“Matematika adalah disiplin ilmu tentang tata cara berfikir dan mengolah logika, baik secara kuantitatif maupun secara kualitatif.”

Abdurrahman (2002) :“Matematika adalah bahasa simbiolis yang fungsi praktisnya untuk mengekspresikan hubungan-hubungan kuantitatif dan keruangan sedangkan fungsi teoritisnya adalah untuk memudahkan berfikir.” 

Andi Hakim Nasution:
“Matematika adalah ilmu struktur, urutan (order), dan hubungan yang meliputi dasar-dasar perhitungan, pengukuran, dan penggambaran bentuk objek.”

Geometri analitik bidang lingkaran

A. Persamaan Lingkaran
1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dan Berjari-jari r
 
Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga ΔOP’P adalah segitiga siku-siku di P’.

Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada ΔOP’P, maka
OP =√OP’)2+(PP’)2
Substitusi OP = r, OP’= x dan PP’ = y
r = √x2+y2
r2 = x2 + y2
x2 + y2 = r2


Karena titik P(x,y) sembarang, maka persamaan x2+y2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :
Persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari r adalah :
x2+y2 = r2

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A (a,b) dan Berjari-jari r















Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh :
AP = √(AP’)2 + (PP’)2
r2 = √(x – a)2 + (y – b)2
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :
Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2


B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
1. Menyatakan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

  Persamaan umum lingkaran dapat didapatkan dengan menjabarkan persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b)
      (x – a)² +   (y-b)² =   r²
x² -   2x   +   a² +   y² -  2y  +  b² =   r²
x² +   y² -   2x   -  2y   +   a² +   b² =   r²
x² +   y² -   2x   -  2y   +   a² +   b² -   r² =   0
     karena :
- 2x   =   Ax
- 2y   =   By
a² +   b² -   r² =   C 
     Sehingga persamaan umum lingkaran ditulis     x² +   y² +     Ax     +    By     +   C    =    0
 
Yang dimaksud dengan bentuk umum persamaan lingkaran contohnya :
Lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari 4, persamaannya adalah
L ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16

Jika persamaan tersebut dijabarkan kemudian disusun berdasarkan aturan abjad dan pangkat turun, diperoleh :
L ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16
L ≡ (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 16
L ≡ x2 + y2 – 2x – 4y –11 = 16

Persamaan yang terakhir inilah yang disebut bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari r = 4.

Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (A, B, C bilangan real)
atau
Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 (A, B, C, D bilangan bulat A ≠ 0


2. Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran
Cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran jika bentuk umum persamaan lingkaran diketahui adalah
L ≡ x2 + y2 + Ax + By – C = 0
L ≡ (x2 + Ax + A2) – A2 + (y2 + By + B2) – B2 + C
4 4 4 4
L ≡ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 - C
4 4 4 4


Berdasarkan persamaan di atas, dapat ditetapkan :
● Pusat lingkaran di (-A)
B
● Jari-jari lingkaran r = √A2 + B2 - C
4 4

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran
















● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari r
Garis singgung dapat ditentukan sebagai berikut :
1. Gradien garis singgung OP adalah Mop = y1
x1
2. Karena garis singgung g tegak lurus OP, maka gradiennya
mg = -1 = -1 = -x1
Mop y1 y1
3. Persamaan garis singgung g :
y – y1 = mg (x – x1)

y – y1 = x1 (x – x1)
y1
y1y – y12 = - x1x + x12
x1x + y1y = x12 + y12
x1x + y1y = r2

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran ditentukan dengan rumus :
x1x + y1y = r2

• Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r


















Garis singgung g dapat dinyatakan sebagai berikut
1. Gradien garis AP adalah Map = - y1 - b
x1 - a
2. Garis singgung g tegak lurus garis AP, sehingga gradien garis singgung g adalah
mg = -1 = - x1 - a
Map - y1 - b
3. Persamaan garis singgung g adalah :
y – y1 = mg (x – x1)
y – y1 = - x1 - a
- y1 - a
(y – y1) (y1 – b) = – (x1 – a) (x – x1)
y1y – y12 – by + b y1 = – (x1x – ax – x12 + ax1)
x1x – ax – x12 + ax1 + y1y – y12 – by + b y1 = 0
x1x – ax + ax1 + y1y – by + b y1 = x12 + y12 ......(*)
Karena P(x1, y1) terletak pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka berlaku :
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2
x12 – 2ax1 + a2 + y12 – 2by1 + b2 = r2
x12 + y12 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2
substitusi x12 + y12 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2 ke (*), diperoleh :
x1x – ax + ax1 + y1y – by + b y1 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2
(x1x – ax + ax1 – 2ax1 + a2) + (y1y – by + b y1 – 2by1 – b2) = r2
(x1x – ax – ax1 + a2) + (y1y – by – b y1 + b2) = r2
(x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2

Rumus persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 yang melalui titik singgung P(x1, y1) adalah (x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Diketahui
● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari r
1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n
2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ x2+y2 = r2, diperoleh :
x2 + (mx + n)2 = r2
x2 + m2x2 + 2mnx + n2 = r2
(1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat (1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0 adalah
D = (2mn)2 – 4(1+ m2) (n2 – r2)
D = 4 m2n2 – 4(m2n2 – m2r2 + n2 – r2)
D = 4 m2n2 – 4 m2n2 + 4m2r2 – 4n2 + 4r2
D = 4 (m2r2 – n2 + r2)

3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0.
4 (m2r2 – n2 + r2) = 0
m2r2 – n2 + r2 = 0
n2 = r2 (1 + m2)
n = ± r √1 + m2

Substitusi n = ± r √1 + m2 ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh y = mx ± r √1 + m2

Jadi, rumus Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 dengan gradien m adalah
y = mx ± r √1 + m2

● Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r
1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n
2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, diperoleh :
(x – a)2 + (mx + n – b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + m2x2 + n2 + b2 + 2mnx – 2bmx – 2bn – r2 = 0
(1 + m2)x2 – 2(a – mn + bm)x + (a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)= 0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas adalah
D = {– 2(a – mn + bm)}2 – 4 (1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)
D = 4(a – mn + bm) 2 – 4(1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)
3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0
4(a – mn + bm) 2 – 4(1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) = 0
(a – mn + bm) 2 – (1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) = 0
a2 + m2n2 + b2m2 – 2amn + 2abm – 2bm2n – a2 – n2 – b2 + 2bn + r2 – a2m2 – m2n2 – b2m2 + 2bm2n + m2r2 = 0
– 2amn + 2abm – n2 – b2 + 2bn + r2 – a2m2 + m2r2 = 0
2amn – 2abm + n2 + b2 – 2bn – r2 + a2m2 – m2r2 = 0
(n2 + a2m2 + b2 + 2amn –2bn – 2abm) – r2 (1+ m2) = 0
(n + am – b)2 = r2 (1+ m2)
(n + am – b) = r √1 + m2
n = (–am + b) ± r√1 + m2
4. Substitusi n = (–am + b) ± ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh
y = mx + (–am + b) ± r √1 + m2
(y – b) = m(x – a) ± r √1 + m2

Jadi, rumus Persamaan Garis Singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m adalah
(y – b) = m(x – a) ± r√1 + m2

3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui sebuah Titik di Luar Lingkaran
Cara untuk menentukan persamaan-persamaan garis singgung yang terletak di luar lingkaran dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1.
Persamaan garis melalui P(x1,y1), dimisalkan gradiennya m. Persamaannya adalah y – y1 = m(x – x1) atau y = mx – mx1 + y1

Langkah 2.
Substitusikan y = mx – mx1 + y1 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabuangan itu dihitung.

Langkah 3.
Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. Dari syarat D = 0 diperoleh nilai-nilai m.
Nilai-nilai m itu selanjutnya disubstitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1, sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung yang diminta.
















Contoh :
Persamaan Lingkaran
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)
Penyelesaian :
Lingkaran berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5), maka jari-jari r adalah
r = √(-3)2 + 52 = √34
r2 = 34
Persamaan lingkarannya x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 34
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5) adalah
L ≡ x2 + y2 = 34

2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0
Penyelesaian :
L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0
L ≡ (x + 4x)2 + (y2 – 10y) = - 13
L ≡ (x2 + 4x + 4) – 4 + (y2 + 4x – 10y + 25) – 25 = - 13
L ≡ (x + 2)2 + (y – 5)2 = 16
Dari persamaan yang terakhir ini, dapat diketahui bahwa lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0 mempunyai pusat (-2,5) dan jari-jari r = 4

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2)
Penyelesaian :
Titik (7,2); x1 = 7 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25
Persamaan garis singgungnya : (7 – 3)(x – 3) + (2 + 1)(y +1) = 25
4x – 12 + 3y – 34 = 25
4x + 3y – 34 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2) adalah 4x + 3y – 34 = 0
4. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, jika diketahui mempunyai gradien 3.
Penyelesaian :
Lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, pusat di O(0,0) dan jari-jari r = 4, mempunyai gradien m = 3.
Persamaan garis singgungnya : y = 3x ± 4√1 + (3)2
y = 3x ± 4√10
y = 3x + 4√10 atau 3x – 4√10
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16 dengan gradien m = 3 adalah
y = 3x + 4√10 dan 3x – 4√10
 

Cara Menentukan Rumus Layang-Layang ke Persamaan Segitiga

A.    Kompetensi Dasar

Siswa mampu menghitung Keliling dan Luas Layang-Layang

B.     Tujuan

Menemukan Rumus Keliling Layang-Layang

Menemukan Rumus Luas Layang-Layang

C.     Materi

Perhatikanlah dua gambar segitiga sama kaki berikut:

Pada gambar segitiga ABC dan segitiga ADC adalah segitiga sama kaki. Panjang alas AD = panjang AB. Kemudian kedua segitiga tersebut diimpitkan pada sisi alas AC , sehingga terbentuklah bangun segi empat yang baru seperti gambar di bawah ini.

Layang-Layang ABCD

Bangun baru yang terbentuk di atas disebut layang-layang. Jadi layang-layang adalah bangun segi empat yang dibentuk dari dua buah segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang diimpitkan.

a.        Sifat-Sifat Layang-Layang

1.      Dua Pasang sisi yang sepasang sama panjang

AB = BC dan AD = CD

2. Dua diagonalnya saling tegak lurus dan yang satu membagi dua sama panjang diagonal yang lain AC ⊥ BD dan panjang AO = panjang OC

3. Sepasang sudut yang berhadapan sama besar Besar ∠ BAD = besar ∠ BCD

4. Salah satu diagonalnya adalah sumbu simetri. Diagonal BD membagi layang-layang ABCD menjadi dua bagian sama besar yaitu segitiga bad dan segitiga BCD. Sedangkan diagonal AC tidak membagi layang-layang ABCD menjadi dua bagian yang sama besar.

b.        Rumus Layang-Layang

1.      Keliling Layang-layang

Panjang keliling layang-layang adalah jumlah seluruh sisinya. Atau dapat diasumsikan dengan:

Keliling Layang-Layang ABCD = AB + BC + CD + AD

Karena AB = BC = s1 dan CD = AD = s2

Maka dapat dituliskan

Keliling Layang-Layang ABCD = 2 x s1 + 2 x s2

atau

Keliling Layang-Layang = 2 ( s1 + s2)

Di mana, s1 = sisi layang-layang 1 dan s2 = sisi layang-layang 2

2.      Luas Layang-layang

Untuk mencari luas layang-layang dapat menggunakan rumus luas segitiga yaitu dengan menjumlahkan luas kedua segitiga sama kaki yang membentuknya.

Luas layang-layang ABCD     = luas segitiga ABC + Luas segitiga ADC

= (1/2 x BO x AC) + (1/2 x OD x AC)

= 1/2 x [(BO x AC) + (OD x AC)]

= 1/2 x [(BO + OD) x AC] => BD = BO + OD

Sehingga diperoleh

Luas layang-layang ABCD = 1/2 x BD x AC

Dengan BD = diagonal 1 dan AC = diagonal 2

D.    Contoh Soal

1)      Perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar di atas merupakan sebuah layang-layang dengan panjang sisi yang berdekatan berturut-turut adalah 9 cm dan 12 cm. Hitunglah keliling layang-layang tersebut!

Penyelesaian:

keliling layang dapat dicari dengan menjumlahkan seluruh sisi layang-layang.

Keliling = 2 (BC + CD)

Keliling = 2 (12 cm + 9 cm)

Keliling = 2 (21 cm)

Keliling = 42 cm

2)      Perhatikan gambar layang-layang PQRS di bawah ini!

Jika ∠PQR siku-siku, hitunglah luas layang-layang PQRS tersebut.

Penyelesaian:

Karena ∠PQR siku-siku maka luas layang-layang tersebut dapat dicari dengan menggunkan rumusluas segitiga, dengan alas = QR = 18 m dan tinggi = PQ = 13 m. Dari bangun layang-layang PQRS terdapat dua segitiga siku-siku yaitu ΔPQR dan ΔPRS dengan luas yang sama, maka luas layang-layang dapat dicari dengan menjumlahkan dua luas segitiga siku-siku yakni:

Luas PQRS = Luas ΔPQR + Luas ΔPRS

Luas PQRS = 2 x Luas ΔPQR

Luas PQRS = 2 x ½ x QR x PQ

Luas PQRS = 2 x ½ x 18 m x 13 m

Luas PQRS = 234 m²

3)      Hitunglah luas layang-layang yang panjang diagonal-diagonalnya sebagai berikut.

a. 8 cm dan 12 cm

b. 9 cm dan 16 cm

c. 15 cm dan 18 cm

d. 13 cm dan 21 cm

Penyelesaian:

a. Gunakan rumus luas layang-layang:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x 8 cm x 12 cm

L = 48 cm²

b. Gunakan rumus luas layang-layang:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x 9 cm x 16 cm

L = 72 cm²

c. Gunakan rumus luas layang-layang:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x 15 cm x 18 cm

L = 135 cm²

d. Gunakan rumus luas layang-layang:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x 13 cm x 21 cm

L = 136,5 cm²

4)      Perhatikan gambar layang ABCD di bawah ini. 

 

Jika panjang AC = 24 cm, panjang BC = 20 cm dan luas ABCD = 300 cm², maka tentukanlah panjang AD dan keliling layang-layang ABCD. 

Penyelesaian:

Untuk mencari panjang AD terlebih dahulu cari panjang BD dengan menggunkan rumus luas layang-layang yaitu:

L = ½ x d1 x d2

L = ½ x BD x AC

300 cm² = ½ x BD x 24 cm

BD = 300 cm²/12 cm

BD = 25 cm

Sekarang cari panjang BO dengan rumus teorema Pythagoras yaitu:

BO = √(BC² - CO²)

BO = √(20² - 12²)

BO = √(400 - 144)

BO = √(256)

BO = 16 cm

Sekarang cari panjang DO yaitu:

DO = BD – BO

DO = 25 cm – 16 cm

DO = 9 cm

Dengan menggunkan rumus Phytagoras maka panjang AD dapat dicari yaitu:

AD = √(AO² + DO²)

AD = √(12² + 9²)

AD = √(144 + 81)

AD = √(225)

AD = 15 cm

Keliling bangun layang-layang ABCD dapat dicari dengan menjumlahkan seluruh sisi layang-layang tersebut.

keliling = 2 (AD+BC)

keliling = 2 (15 cm + 20 cm)

keliling = 2 (35 cm)

keliling = 70 cm

5)      Diketahui luas suatu layang-layang adalah 192 cm². Jika diagonal d1 dan d2 memiliki perbandingan d1 : d2 = 2 : 3, tentukan panjang diagonal d1 dan d2.

Penyelesaian:

Untuk mencari panjang diagonal d1 dan d2 bisa kita gunakan rumus luas layang-layang yaitu:

L = ½ x d1 x d2

192 cm² = ½ x d1 x d2

192 cm² = ½ x d1 x d2

384 cm² = d1 x d2

Masing-masing panjang d1 dan d2 dapat dicari dengan konsep perbandingan dimana d1 : d2 = 2 : 3, maka dapat kita misalkan: d1 = 2x dan d2 = 3x, dengan memasukan ke rumus luas sebelumnya sehingga di dapat:

384 cm² = d1 x d2

384 cm² = 2x x 3x

384 cm² = 6x²

x² = 384 cm²/6

x² = 64 cm²

x = √64 cm²

x = 8 cm

Dengan memasukan kepersamaan tadi maka panjang d1 dan d2 di dapat:

d1 = 2x = 2.8 cm = 16 cm

d2 = 3x = 3.8 cm = 24 cm

Peluang,Kombinasi & Permutasi

1) Permutasi 
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga 
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau .
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi

dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri :)

Contoh permutasi siklis :

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

2) Kombinasi 
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan , 

Contoh :
Diketahui himpunan  .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi

dengan penulisan nCk, hitung 10C4

kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri :)

Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!

Peluang Matematika

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian 
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian 
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus : 

Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan 
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian 
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : 

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian 
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

Peluang Kejadian Majemuk

1. Gabungan Dua Kejadian 
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku : 

Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan  dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2. Kejadian-kejadian Saling Lepas 
Untuk setiap kejadian berlaku  Jika  . Sehingga  Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

3. Kejadian Bersyarat 
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika  adalah peluang terjadinya A dan B, maka  Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

4. Teorema Bayes 
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini : 

5. Kejadian saling bebas Stokhastik 
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

Sebaran Peluang

1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang. 
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap  maka:

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :

2. Sebaran Binom 
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Dengan P sebagai parameter dan 
Rumus ini dinyatakan sebagai:
 untuk n = 0, 1, 2, …. ,n
Dengan P sebagai parameter dan 

P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal